1987-全国文-10 填-双曲线方程的判定

本题导读

本题考查双曲线标准方程的判定条件。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 已知方程 $\frac{x^2}{2+\lambda }-\frac{y^2}{1+\lambda }=1$ 表示双曲线，求 $\lambda$ 的范围.

🔍【思路分析】

破题导航

双曲线要求两分母同号，即 $(2+\lambda )(1+\lambda )>0$。

✅【答案】

Success

$\lambda >-1$ 或 $\lambda <-2$

✍【详细解析】

Abstract

方程表双曲线需 $(2+\lambda )(1+\lambda )>0$，解得 $\lambda >-1$ 或 $\lambda <-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程的判定

核心方法：$\frac{x^2}{2+\lambda }-\frac{y^2}{1+\lambda }=1$ 表双曲线需 $(2+\lambda )(1+\lambda )>0$。

避坑指南：双曲线要求两分母同号，解得 $\lambda >-1$ 或 $\lambda <-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线标准方程的判定。

结论推广：$\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$ 表双曲线 $\iff mn>0$。

方法推广：双曲线两分母同号，椭圆则同号且为正。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-23 解-双曲线上的点与距离
• 1989-全国文-10 单-双曲线的焦半径与准线
• 1990-全国文-05 单-双曲线的准线方程