1986-广东文-04 单-二次方程表示的曲线

本题导读

本题考查直角坐标方程所表示的曲线的判定。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 直角坐标方程 $x^2+2x-y^2+2y=0$ 所表示的曲线是 ()

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 互相平行的两直线

D. 互相垂直的两直线

E. 一个点

🔍【思路分析】

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配方得 $(x+1{)}^2-(y-1{)}^2=0$，平方差分解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

配方：$(x+1{)}^2-1-(y^2-2y+1)+1=0$，即 $(x+1{)}^2-(y-1{)}^2=0$。分解：$(x+1+y-1)(x+1-y+1)=0$，得 $(x+y)(x-y+2)=0$，即 $y=-x$ 或 $y=x+2$。两直线斜率 $-1$ 与 $1$，乘积为 $-1$，互相垂直。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次方程表示的曲线

核心方法：配方 $(x+1{)}^2-(y-1{)}^2=0$，平方差分解因式。

避坑指南：$y=-x$ 与 $y=x+2$，斜率 $-1\times 1=-1$ 垂直，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1989 广东理第 25 题同考二次方程表示两直线。

结论推广：缺 $xy$ 项的二次方程配方后可判别曲线类型。

方法推广：$(x+m{)}^2-(y+n{)}^2=0$ 分解为两条相交直线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-25 单-二次方程表示两直线
• 1987-全国文-10 填-双曲线方程的判定