1988-全国文-21 解-三倍角公式证明

本题导读

本题考查三倍角公式的证明。核心在于用和角与倍角公式展开。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 证明：$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos 3\alpha =\cos (2\alpha +\alpha )$，用和角公式展开。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

$\cos 3\alpha =\cos (2\alpha +\alpha )=\cos 2\alpha \cos \alpha -\sin 2\alpha \sin \alpha =(2{\cos }^2\alpha -1)\cos \alpha -2{\sin }^2\alpha \cos \alpha =2{\cos }^3\alpha -\cos \alpha -2(1-{\cos }^2\alpha )\cos \alpha =2{\cos }^3\alpha -\cos \alpha -2\cos \alpha +2{\cos }^3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三倍角公式证明

核心方法：$\cos 3\alpha$ 用和角+倍角公式展开。

避坑指南：$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三倍角公式。

结论推广：和角倍角。

方法推广：恒等证明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角
• 1993-新高考文-24 解-三倍角公式的求值
• 1991-三南-25 解-和差角公式求值