1988-全国文-18 填-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值，注意角的范围。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 已知 $\sin \theta =-\frac{3}{5}$，$3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$，求 $\tan \frac{\theta }{2}$ 的值为　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\theta$ 第四象限，$\cos \theta =\frac{4}{5}$，$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$。

✅【答案】

Success

$-3$

✍【详细解析】

Abstract

$3\pi <\theta <\frac{7\pi }{2}$，$\theta$ 在第四象限，$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\frac{4}{5}$。由 $\sin \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$，设 $t=\tan \frac{\theta }{2}$，则 $\frac{2t}{1+t^2}=-\frac{3}{5}$，即 $3t^2+10t+3=0$，解得 $t=-3$ 或 $t=-\frac{1}{3}$。又 $\frac{3\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{7\pi }{4}$，$\frac{\theta }{2}$ 在第四象限，$\tan \frac{\theta }{2}\in (-\infty ,-1)$，故 $\tan \frac{\theta }{2}=-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：$\sin \theta =-\frac{3}{5}$，$\theta$ 第四象限，$\tan \frac{\theta }{2}$ 用公式。

避坑指南：注意 $\theta$ 范围确定象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式。

结论推广：$\tan \frac{\theta }{2}$。

方法推广：象限符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-26 填-半角公式求值
• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断