1986-广东理-17 单-圆的方程

本题导读

本题考查过定点与双曲线焦点的圆的方程。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 通过点 $A(3,4)$ 及双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 的两个焦点的圆的方程为 ()

A. $x^2+(y-\frac{8}{3}{)}^2=\frac{145}{9}$

B. $(x-\frac{8}{3}{)}^2+y^2=\frac{145}{9}$

C. $(x-2{)}^2+y^2=13$

D. $x^2+(y-2{)}^2=13$

E. $x^2+(y-\frac{11}{4}{)}^2=\frac{169}{16}$

🔍【思路分析】

破题导航

双曲线 $c^2=6+3=9$，焦点 $(\pm 3,0)$，三点定圆。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $c^2=6+3=9$，焦点 $(\pm 3,0)$。圆过 $(-3,0)$、$(3,0)$、$(3,4)$ 三点，圆心在 $x$ 轴（焦点关于 $y$ 轴对称），设圆心 $(0,k)$，半径 $r^2=9+k^2$。过 $(3,4)$：$9+(4-k{)}^2=9+k^2\Rightarrow 16-8k+k^2=k^2\Rightarrow k=2$。圆 $x^2+(y-2{)}^2=13$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程

核心方法：双曲线 $c^2=6+3=9$，焦点 $(\pm 3,0)$，过 $A(3,4)$。

避坑指南：$x^2+(y-2{)}^2=13$，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的方程。

结论推广：三点定圆。

方法推广：待定系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1987-上海-18 单-圆与坐标轴相切
• 1989-上海-12 单-圆的标准方程