1986-广东文-22 单-过三点的圆的方程

本题导读

本题考查圆的方程与椭圆的焦点。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 过点 $A(1,-2)$ 及椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$ 的两个焦点的圆的方程是 ()

A. $x^2+2x+y^2=4$

B. $x^2-2x+y^2=3$

C. $x^2+y^2+2y=1$

D. $x^2+y^2-2y=1$

E. $x^2+y^2+2y=0$

🔍【思路分析】

破题导航

椭圆焦点 $(\pm 1,0)$。设一般式代三点。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$a^2=6$，$b^2=5$，$c^2=1$，焦点为 $(\pm 1,0)$。设圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。过 $(1,0)$：$1+D+F=0$；过 $(-1,0)$：$1-D+F=0$。两式相减得 $D=0$，$F=-1$。过 $(1,-2)$：$1+4-2E-1=0$，得 $E=2$。故圆为 $x^2+y^2+2y-1=0$，即 $x^2+y^2+2y=1$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：过三点的圆的方程

核心方法：设 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，代入三点 $(\pm 1,0)$、$(1,-2)$。

避坑指南：$D=0$，$E=2$，$F=-1$，选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 17 题同型。

结论推广：圆的一般式 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 代入三点解方程组。

方法推广：过 $(\pm 1,0)$ 两点立刻得 $D=0$，减少计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-17 单-圆的方程
• 2001-新课标卷文-03 单-圆的方程