1986-广东理-10 单-均值不等式求最值

本题导读

本题考查均值不等式求最值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 设 $a$，$b$ 为实数且 $a+b=3$，则 $2^a+2^b$ 的最小值是 ()

A. $6$　　　　　B. $4\sqrt{2}$　　　　　C. $2\sqrt{2}$　　　　　D. $2\sqrt{6}$　　　　　E. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

$2^a+2^b\ge 2\sqrt{2^a\cdot 2^b}=2\sqrt{2^{a+b}}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$2^a+2^b\ge 2\sqrt{2^a\cdot 2^b}=2\sqrt{2^{a+b}}=2\sqrt{2^3}=4\sqrt{2}$，当 $a=b=\frac{3}{2}$ 时取等。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式求最值

核心方法：$2^a+2^b\ge 2\sqrt{2^{a+b}}=2\sqrt{2^3}=4\sqrt{2}$。

避坑指南：选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：均值不等式。

结论推广：$a+b\ge 2\sqrt{ab}$。

方法推广：和为定值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-28 填-均值不等式
• 2011-陕西卷文-03 单-均值不等式链排序