1986-全国文-21 解-三角恒等式的证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于和差化积后提取公因式 $1+2\cos 2A$。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 已知 $\sin A+\sin 3A+\sin 5A=a$，$\cos A+\cos 3A+\cos 5A=b$.求证：

(1)当 $b\ne 0$ 时，$\tan 3A=\frac{a}{b}$；

(2)$(1+2\cos 2A{)}^2=a^2+b^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin A+\sin 5A=2\sin 3A\cos 2A$，两式分别提出 $(1+2\cos 2A)$，再相除、平方相加。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sin A+\sin 5A=2\sin 3A\cos 2A$，故 $a=\sin 3A(2\cos 2A+1)$；同理 $b=\cos 3A(1+2\cos 2A)$。当 $b\ne 0$ 时 $\cos 3A\ne 0$，两式相除得 $\tan 3A=\frac{a}{b}$。 (2)$a^2+b^2=(1+2\cos 2A{)}^2({\sin }^{2}3A+{\cos }^{2}3A)=(1+2\cos 2A{)}^2$。得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的证明

核心方法：和差化积：$a=(1+2\cos 2A)\sin 3A$，$b=(1+2\cos 2A)\cos 3A$。

避坑指南：两式相除得 $\tan 3A=\frac{a}{b}$；平方相加用 ${\sin }^{2}3A+{\cos }^{2}3A=1$ 得 $(1+2\cos 2A{)}^2=a^2+b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和差化积。

结论推广：提取公因式 $(1+2\cos 2A)$。

方法推广：商与平方和两路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-06 单-同角三角函数的求值
• 1996-全国卷文-18 填-正切和角公式的求值
• 1989-全国文-11 单-三角函数的最小值