1986-全国理-10 单-反三角函数的恒等式

本题导读

本题考查反三角函数的定义与值域，以及反三角函数的诱导公式。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 当 $x\in [-1,0]$ 时，在下面关系式中正确的是 ()

A. $\pi -\arccos (-x)=\arcsin \sqrt{1-x^2}$　　　　　　　　　　　　B. $\pi -\arcsin (-x)=\arccos \sqrt{1-x^2}$

C. $\pi -\arccos x=\arcsin \sqrt{1-x^2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\pi -\arcsin x=\arccos \sqrt{1-x^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用反三角函数基本诱导公式简化选项：
   • 根据反余弦函数的对称性：$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$。
   • 注入 A 项：左端项可化简为 $\pi -(\pi -\arccos x)=\arccos x$。
2. 执行三角变量代换：
   • 设 $\alpha =\arccos x$。根据反余弦主值范围定义，$\alpha \in [0,\pi ]$，且满足 $\cos \alpha =x$。
   • 结合已知区间 $x\in [-1,0]$，精确锁定角 $\alpha$ 的象限范围为 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$。
3. 变换右端项进行恒等性核对：
   • 将 $x=\cos \alpha$ 代入根式 $\sqrt{1-x^2}$ 中，利用同角三角恒等式化简为 $|\sin \alpha |$。
   • 结合 $\alpha$ 的象限符号脱去绝对值，通过计算对应的反三角函数值，验证等式两端的单值对应逻辑。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由反余弦函数的对称性 $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$，知 A 项左端为 $\pi -\arccos (-x)=\arccos x$。 设 $\alpha =\arccos x$，则 $\alpha \in [0,\pi ]$ 且 $\cos \alpha =x$。由 $x\in [-1,0]$ 得 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$。 此时 $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=|\sin \alpha |=\sin \alpha$（因 $\sin \alpha \ge 0$）。 再看右端 $\arcsin \sqrt{1-x^2}=\arcsin (\sin \alpha )$。由于 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 不在反正弦主值区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内，需用 $\sin \alpha =\sin (\pi -\alpha )$ 转换，其中 $\pi -\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，故 $\arcsin (\sin \alpha )=\pi -\alpha$。 于是： A 项左端 $=\arccos x=\alpha$，右端 $=\pi -\alpha$，仅在 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 处相等，不恒等，错误； C 项左端 $=\pi -\arccos x=\pi -\alpha$，右端 $=\pi -\alpha$，恒等，正确； D 项：当 $x\in [-1,0]$ 时 $\arcsin x\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]$，左端 $\pi -\arcsin x\in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$，而右端 $\arccos \sqrt{1-x^2}\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，两端值域不相交，恒不成立。B 项左端 $\pi -\arcsin (-x)\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$、右端同属 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，只在 $x=-1$ 处同取 $\frac{\pi }{2}$（此时两端都是 $\frac{\pi }{2}$，确实相等），而 $x=0$ 时左端为 $\pi$、右端为 $0$，故 B 只是在一个点成立，不恒等。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 主值区间限制：$\arcsin (\sin \alpha )=\alpha$ 只在 $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 时成立。本题 $\alpha$ 落在第二象限，必须用 $\sin \alpha =\sin (\pi -\alpha )$ 平移到主值区间。
• 值域筛选：B、D 项可通过两端值域是否相交快速排除，不必逐一展开化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是 1986 年全国卷理科第 10 题，考的是反三角函数的主值区间——四个选项看似都在写”$\pi -$某个反三角”，实际每一个都要先把复合角折回主值区间才能比较。1980 年代全国卷连续多年在选择题第 8 至第 10 题的位置摆一道反三角题（1985 年第 7 题、1987 年第 8 题、1988 年第 10 题），是那一轮大纲里”反三角函数”这一章的固定落点。

2. 结论推广：$\arcsin \sqrt{1-x^2}=\{\begin{array}{ll}\arccos x,& x\in [0,1]\\ \pi -\arccos x,& x\in [-1,0)\end{array}$。

3. 方法推广：处理反三角函数复合式，先设角换元并确定角的范围，再依据主值区间做诱导公式平移。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-06 单-反余弦恒等式
• 1986-全国文-21 解-三角恒等式的证明
• 1986-广东理-14 单-反三角函数的求值