1986-上海文-33 解-棣莫佛定理的证明

本题导读

本题考查棣莫弗定理的表述与数学归纳法证明。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） 写出棣莫佛定理并用数学归纳法加以证明.

🔍【思路分析】

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定理：$z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )\Rightarrow z^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

棣莫佛定理：复数 $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$（$r>0$，$n$ 为正整数）的 $n$ 次幂 $z^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$。 证明：当 $n=1$ 时，$z^1=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$，定理成立。 假设 $n=k$ 时定理成立，即 $z^k=r^k(\cos k\theta +\mathrm{i}\sin k\theta )$。则 $n=k+1$ 时， $z^{k+1}=z^k\cdot z=r^k(\cos k\theta +\mathrm{i}\sin k\theta )\cdot r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ $=r^{k+1}[(\cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta )+\mathrm{i}(\sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta )]$ $=r^{k+1}[\cos (k+1)\theta +\mathrm{i}\sin (k+1)\theta ]$。 即定理在 $n=k+1$ 时也成立。故对一切正整数 $n$ 定理成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棣莫佛定理的证明

核心方法：$z^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$，数学归纳法。

避坑指南：$n=1$ 奠基，$n=k\to k+1$ 用和角公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棣莫弗定理。

结论推广：$z^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$。

方法推广：数学归纳法两步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-32 解-复数的三角式运算
• 1988-广东理-33 解-复数的辐角与纯虚数条件