1985-上海文-19 解-万能公式与半角公式

本题导读

本题考查万能公式的证明与半角公式求值。核心在于二倍角除以 ${\cos }^2$ 推导及象限符号判断。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(文)） (1)证明万能公式：$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$.

(2)已知 $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$，$\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$，求 $\cos \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{5\pi }{6}\right)$.

🔍【思路分析】

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(1)$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$ 分子分母同除 ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$；(2)先求 $\cos \frac{\alpha }{2}$、$\sin \frac{\alpha }{2}$，再用和角公式。

✅【答案】

Success

(2) $\frac{3-\sqrt{6}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 有意义条件下，由二倍角公式 $\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$，分子分母同除以 ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$ 得 $\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{{\sec }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$，公式得证。(2)由 $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ 知 $\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}$，$\frac{\alpha }{2}$ 在第二象限，正弦正、余弦负。由半角公式 $\cos \frac{\alpha }{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$。故 $\cos (\frac{\alpha }{2}+\frac{5\pi }{6})=\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{5\pi }{6}-\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{5\pi }{6}=(-\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{\sqrt{3}}{2})-\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：万能公式与半角公式

核心方法：万能公式推导 + 半角公式求值

避坑指南：(2) $\frac{\alpha }{2}$ 在第二象限，$\cos \frac{\alpha }{2}$ 取负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：万能公式是三角恒等变换重要公式

结论推广：$\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}$（$t=\tan \frac{\alpha }{2}$）

方法推广：由二倍角除以 ${\cos }^2$ 推导

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-33 解-棣莫佛定理的证明
• 1986-广东文-33 填-万能公式求值