1985-广东文-26 解-三角恒等式的证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于切化弦与二倍角公式的逆用。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） 证明：$\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan (\alpha +\beta )}=\frac{\sin 2\beta }{2{\cos }^2\alpha }$.

🔍【思路分析】

破题导航

左端分子分母分别化弦，分子用差角公式化简，分母用和角余弦公式化简。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

左端 $=\frac{\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{1+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\cdot \frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}}=\frac{\frac{\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha -\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha }{\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha }}{\frac{\cos \beta \cos (\alpha +\beta )+\sin \beta \sin (\alpha +\beta )}{\cos \beta \cos (\alpha +\beta )}}$。分子 $=\frac{\sin [(\alpha +\beta )-\alpha ]}{\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha }=\frac{\sin \beta }{\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha }$，分母 $=\frac{\cos [(\alpha +\beta )-\beta ]}{\cos \beta \cos (\alpha +\beta )}=\frac{\cos \alpha }{\cos \beta \cos (\alpha +\beta )}$。故左端 $=\frac{\sin \beta }{\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha }\cdot \frac{\cos \beta \cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha }=\frac{\sin \beta \cos \beta }{{\cos }^2\alpha }=\frac{\sin 2\beta }{2{\cos }^2\alpha }=$ 右端。得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的证明

核心方法：切化弦与二倍角逆用

避坑指南：左端化弦得 $\frac{\sin \beta \cos \beta }{{\cos }^2\alpha }$，再用 $\sin 2\beta =2\sin \beta \cos \beta$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等式的证明

结论推广：切化弦是证明三角恒等式的基本路径

方法推广：左推右或两头凑

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-19 解-万能公式与半角公式
• 1986-广东文-33 填-万能公式求值