1985-广东理-14 单-双曲线的离心率

本题导读

本题考查等轴双曲线离心率的求值。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 如果双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率是 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$　　　　　　　E. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 垂直，则 $\frac{b}{a}=1$，即 $a=b$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，两渐近线互相垂直则斜率之积 $-1$，即 $(\frac{b}{a})(-\frac{b}{a})=-1$，得 $\frac{b}{a}=1$，即 $a=b$。故 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}a$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：渐近线垂直推出等轴双曲线

避坑指南：$a=b$ 时离心率恒为 $\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等轴双曲线离心率的固定值

结论推广：渐近线互相垂直等价于 $a=b$

方法推广：离心率 $\sqrt{2}$ 的识别

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1986-广东理-29 填-双曲线的离心率