1985-全国理-04 单-极坐标方程的图象

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的图象识别。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 极坐标方程 $\rho =a\sin \theta (a>0)$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将极坐标方程 $\rho =a\sin \theta$ 两边同乘 $\rho$，利用 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$、${\rho }^2=x^2+y^2$ 化为直角坐标方程。
2. 识别所得方程的曲线类型（圆），判断圆心与半径。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 由 $\rho =a\sin \theta$，两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=a\rho \sin \theta$，即 $x^2+y^2=ay$，配方得 $x^2+{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$。 这是圆心在 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆，与 $x$ 轴相切于原点，位于上半平面。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极坐标化直角的桥梁：${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \sin \theta =y$、$\rho \cos \theta =x$，两边同乘 $\rho$ 是常用技巧。
• 识别圆心位置：$\rho =a\sin \theta$ 表示圆心在 $y$ 轴正半轴、过原点的圆，勿与 $\rho =a\cos \theta$（圆心在 $x$ 轴正半轴）混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于极坐标与直角坐标的互化，考查 $\rho =a\sin \theta$ 的圆的识别，体现数形结合与转化思想。

2. 结论推广：$\rho =2r\sin \theta$ 表示圆心 $(0,r)$、半径 $r$ 的圆；$\rho =2r\cos \theta$ 表示圆心 $(r,0)$、半径 $r$ 的圆。

3. 方法推广：判断极坐标方程的曲线，先化为直角坐标方程再识别曲线类型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-12 单-极坐标方程表示的曲线
• 1986-全国理-03 单-极坐标方程与曲线