1982-全国文-02 解-二项式展开式的特定项

本题导读

本题考查二项展开式特定项与复数幂的化简。核心在于通项公式定项与 $i$ 的幂次。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 求 $(-1+i{)}^{20}$ 展开式中第 15 项的数值.

🔍【思路分析】

破题导航

通项 $T_{k+1}=C_{20}^k(-1{)}^{20-k}{i}^k$，第 15 项 $k=14$。

✅【答案】

Success

$-38760$

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式通项 $T_{k+1}=C_{20}^k(-1{)}^{20-k}{i}^k$。第 15 项对应 $k=14$，故 $T_{15}=C_{20}^{14}(-1{)}^6{i}^{14}=C_{20}^6\cdot (i^2{)}^7=C_{20}^6\cdot (-1{)}^7=-C_{20}^6=-38760$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的特定项

核心方法：通项公式定第 15 项

避坑指南：$T_{15}=C_{20}^{14}(-1{)}^6{i}^{14}=-C_{20}^6=-38760$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式的特定项

结论推广：$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 求指定项

方法推广：通项公式定 $k$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-10 填-二项式展开式的特定项系数
• 1985-广东理-24 单-二项式展开式的常数项