1984-全国文-10 填-二项式展开式的特定项系数

本题导读

本题考查二项式展开式中指定次幂的系数。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 求 $(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^6$ 的展开式中 $x$ 的一次幂的系数.

🔍【思路分析】

破题导航

通项指数 $3-r$，令 $r=2$，系数 $C_6^2\cdot 2^4$。

✅【答案】

Success

$240$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{r+1}=C_6^r(2\sqrt{x}{)}^{6-r}(\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^r=C_6^r{2}^{6-r}{x}^{\frac{6-r}{2}-\frac{r}{2}}=C_6^r{2}^{6-r}{x}^{3-r}$。令 $3-r=1$，得 $r=2$。系数为 $C_6^2\cdot 2^4=15\times 16=240$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的特定项系数

核心方法：通项公式定 $r$

避坑指南：$(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^6$ 通项指数 $3-r$，令 $r=2$，系数 $C_6^2{2}^4=240$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式的指定项

结论推广：通项公式求特定次幂系数

方法推广：指数方程定 $r$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-25 填-二项式一次项系数
• 1985-广东理-24 单-二项式展开式的常数项