1993-旧高考理-15 单-二项式展开的有理项

本题导读

本题考查二项式定理（展开式的通项公式），以及有理项与无理项的判定。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 由 $(\sqrt{3}x+\sqrt[3]{2}{)}^{100}$ 展开所得的 $x$ 的多项式中，系数为有理数的共有 ()

A. 50 项　　　　B. 17 项　　　　　C. 16 项　　　　　D. 15 项

🔍【思路分析】

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写出通项公式：利用二项式定理的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，写出该展开式的第 $r+1$ 项。 化简指数幂：将通项中的底数 $\sqrt{3}$ 记为 $3^{\frac{1}{2}}$， $\sqrt[3]{2}$ 记为 $2^{\frac{1}{3}}$，把对应的指数整合为分数指数形式。 列出整除约束：因为组合数 $C_{100}^r$ 恒为整数，要使整个项的系数为有理数，底数 3 和 2 的指数部分必须同时为整数。 求出项数解：联立整除条件求出参数 $r$ 必须是 2 和 3 的最小公倍数（即 6）的倍数。结合 $0\le r\le 100$ 的约束，计算满足条件的自变量 $r$ 的个数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据二项式定理，设 $(\sqrt{3}x+\sqrt[3]{2}{)}^{100}$ 展开式的通项为第 $r+1$ 项（其中 $r=0,1,2,\dots ,100$）： $T_{r+1}=C_{100}^r(\sqrt{3}x{)}^{100-r}\cdot (\sqrt[3]{2}{)}^r$

将根式改写为分数指数幂的形式，并分离出变量 $x$ 和代数系数： $T_{r+1}=C_{100}^r\cdot (\sqrt{3}{)}^{100-r}\cdot (\sqrt[3]{2}{)}^r\cdot x^{100-r}$ $T_{r+1}=C_{100}^r\cdot 3^{\frac{100-r}{2}}\cdot 2^{\frac{r}{3}}\cdot x^{100-r}$

由题意要求，该多项式各项的系数为有理数。因为组合数 $C_{100}^r$ 对任意整型 $r$ 恒为正整数，底数 3 和 2 均为质数，所以其系数是有理数的充要条件是： 指数 $\frac{100-r}{2}$ 与 $\frac{r}{3}$ 必须同时为整数。

由此建立关于 $r$ 的整除约束方程组： $\{\begin{array}{l}100-r\text{ 能被 2 整除}\\ r\text{ 能被 3 整除}\end{array}$

1. 由 $100-r$ 是 2 的倍数，可得 $r$ 必须是偶数（能被 2 整除）；
2. 由 $r$ 是 3 的倍数，结合 $r$ 同时能被 2 和 3 整除，可知 $r$ 必须是 2 和 3 的最小公倍数 6 的倍数。

我们可以将 $r$ 表示为： $r=6k(k\in \mathbf{Z})$

因为二项式展开式的项数取值范围限制，参数 $r$ 必须满足： $0\le r\le 100$

将 $r=6k$ 代入上述不等式中： $0\le 6k\le 100⟹0\le k\le \frac{100}{6}=16.66\dots$

因为 $k$ 必须为整数，所以 $k$ 的可行取值集合为： $k\in \{0,1,2,\dots ,16\}$

计算该集合内整数的个数： $\text{项数}=16-0+1=17$

即系数为有理数的项共有 17 项。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项公式 $T_{r+1}$，分数指数幂与有理项的相互转化，公倍数整除分析。
2. 核心方法：指数通项分析法。
3. 避坑指南：
   • 极易漏掉 $k=0$（即 $r=0$）这一极端项。很多考生通过用 $100÷6=16\dots 4$ 算出了 16，就直接盲目选择 C 选项。务必注意 $r$ 是从 0 开始计数到 $n$ 的， $k=0$ 对应的是展开式的第一项，必须算入其中（$16+1=17$）。
   • 注意公式中写的是 $T_{r+1}$。题目问的是满足条件的项数，其个数直接等价于可行参数 $r$（或 $k$）的个数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二项式定理板块最典型、最具代表性的“有理项数求解”考题。直接取材于高中代数教材中“二项式定理的应用”一节的课后重点提高习题。
2. 结论推广：对于形如 $(a^{\frac{1}{m}}x+b^{\frac{1}{n}}{)}^N$ （$a,b$ 为互质的整数）的二项展开式：
   • 其有理项（系数为有理数的项）对应的参数 $r$ 必为 $m$ 和 $n$ 的最小公倍数 $[\text{lcm}(m,n)]$ 的倍数。
   • 若在化简通项后，某一个常数项的初值对应的起点为 $r_0$，则有理项的个数可通过对不等式 $r_0+k\cdot \text{lcm}(m,n)\le N$ 求非负整数 $k$ 的解的个数来直接速算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-02 解-二项式展开式的特定项
• 1984-全国文-10 填-二项式展开式的特定项系数
• 1985-上海文-04 填-等差数列的通项