1993-新高考理-13 单-两个二项式乘积的指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及通项公式 $T_{r+1}$ 的应用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） $(\sqrt{x}+1{)}^4(x-1{)}^5$ 展开式中 $x^4$ 的系数为 ()

A. $-40$　　　　　　B. 10　　　　　　C. 40　　　　　　　D. 45

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 分别写出二项式 $(\sqrt{x}+1{)}^4$ 和 $(x-1{)}^5$ 的展开式通项公式，设对应的通用计数器参数分别为 $r$ 和 $k$。
2. 第二步： 整理相乘后的自变量 $x$ 的综合指数表达式，令其等于目标幂次 4。结合组合数中参数 $r$ 和 $k$ 的整数取值范围，列举出所有满足条件的 $(r,k)$ 整数解。
3. 第三步： 将各组解对应的组合系数相乘再求和，最终算出 $x^4$ 项的合并系数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据二项式定理，第一个因式 $(\sqrt{x}+1{)}^4$ 的展开式通项为： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r(\sqrt{x}{)}^{4-r}\cdot 1^r={\text{C}}_4^r{x}^{2-\frac{r}{2}}(r=0,1,2,3,4)$

第二个因式 $(x-1{)}^5$ 的展开式通项为： $T_{k+1}={\text{C}}_5^k{x}^{5-k}\cdot (-1{)}^k(k=0,1,2,3,4,5)$

两个通项相乘，得到乘积展开式中的任意项为： ${\text{C}}_4^r\cdot {\text{C}}_5^k\cdot (-1{)}^k\cdot x^{2-\frac{r}{2}+5-k}={\text{C}}_4^r\cdot {\text{C}}_5^k\cdot (-1{)}^k\cdot x^{7-\frac{r}{2}-k}$ 要求 $x^4$ 的系数，令自变量的幂次等于 4： $7-\frac{r}{2}-k=4⟹\frac{r}{2}+k=3⟹r+2k=6$

考虑到 $r\in \{0,1,2,3,4\}$ 且 $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$ 均为整数，且由表达式知 $r$ 必须为偶数。 分类讨论满足上述方程的整数解组合：

1. 当 $k=1$ 时， $r=4$，此时对应项的系数为： ${\text{C}}_4^4\cdot {\text{C}}_5^1\cdot (-1{)}^1=1\times 5\times (-1)=-5$
2. 当 $k=2$ 时， $r=2$，此时对应项的系数为： ${\text{C}}_4^2\cdot {\text{C}}_5^2\cdot (-1{)}^2=6\times 10\times 1=60$
3. 当 $k=3$ 时， $r=0$，此时对应项的系数为： ${\text{C}}_4^0\cdot {\text{C}}_5^3\cdot (-1{)}^3=1\times 10\times (-1)=-10$

（注：若 $k=0⟹r=6>4$，不合题意舍去；若 $k\ge 4⟹r<0$，不合题意舍去。）

综上所述，展开式中 $x^4$ 的总系数为各项分类系数的代数和： $\text{总系数}=(-5)+60+(-10)=45$

故正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 二项式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的建立，多个二项式乘积展开式中特定项系数的组合计数原理。
2. 核心方法： 待定系数与不定方程组合法。通过将变量 $x$ 的指数提取出来建立关于参数的不定方程 $r+2k=6$，再利用边界条件对参数进行有限次穷举。
3. 避坑指南： - 容易混淆通项公式中的“第 $r+1$ 项”与“指数 $r$”的关系，在提取 $(x-1{)}^5$ 的通项时，常数 $-1$ 的幂次必须与选取的组合数下底数 $k$ 一致，即 $(-1{)}^k$，切勿漏掉正负号变换。
   • 分类列举时要做到不重不漏，注意核对各个参数是否超出了其各自的二项式指数上限（如 $r\le 4,k\le 5$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于二项式定理板块的高频经典中档题。它摆脱了常规单二项式求系数的直接套用，通过前因式的根式 $\sqrt{x}$ 与后因式的整式 $x$ 交叉相乘，提升了思维跨度与分类讨论要求。
2. 结论推广（双多项式特定项系数通用表达式）： 对于多项式 $(a{x}^p+b{)}^m(c{x}^q+d{)}^n$ 展开式中 $x^M$ 的系数，其通项一般形式为： $\sum {\text{C}}_m^r{a}^{m-r}{b}^r\cdot {\text{C}}_n^k{c}^{n-k}{d}^k$ 其中求和符号 $\sum$ 遍历所有满足： $p(m-r)+q(n-k)=M(0\le r\le m,0\le k\le n,r,k\in \mathbf{Z})$ 的整数组合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-13 填-二项式指定项系数
• 1982-全国文-02 解-二项式展开式的特定项
• 1984-全国文-10 填-二项式展开式的特定项系数