1977-湖北-02 解-篱笆围场最值

本题导读

本题考查二次函数最值。核心在于靠墙一边不占篱笆，宽为 $\frac{L-x}{2}$，面积配方法顶点在 $x=\frac{L}{2}$。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） 围一矩形场地，一边利用房屋的墙，其他三边用 $L$ 米的篱笆围成，问怎样围才能使面积最大？最大面积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

设与墙平行的一边长 $x$，则两边各 $\frac{L-x}{2}$；$S=-\frac{1}{2}(x-\frac{L}{2}{)}^2+\frac{L^2}{8}$，顶点即最大。

✅【答案】

Success

当与墙平行的一边长 $\frac{L}{2}$ 米、与墙垂直的两边各 $\frac{L}{4}$ 米时面积最大，最大面积为 $\frac{L^2}{8}$ 米${}^2$

✍【详细解析】

Abstract

如图，设围成的矩形场地的长为 $x$ 米，那么宽就应是 $\frac{L-x}{2}$ 米。 这时矩形面积 $S=x\left(\frac{L-x}{2}\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{L}{2}x=-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{L}{2}\right)}^2+\frac{L^2}{8}$。 所以当 $x=\frac{L}{2}$ 米时，$S$ 有最大值 $\frac{L^2}{8}$ 米${}^2$。这时的宽 $\frac{L-x}{2}=\frac{L}{4}$ 米。 答：当与墙平行的一边长为 $\frac{L}{2}$ 米，与墙垂直的两边分别长为 $\frac{L}{4}$ 米时，围成的矩形面积最大，最大面积为 $\frac{L^2}{8}$ 米${}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：篱笆围场最值

核心方法：设长配顶点

避坑指南：$S=x\cdot \frac{L-x}{2}=-\frac{1}{2}(x-\frac{L}{2}{)}^2+\frac{L^2}{8}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：长 $\frac{L}{2}$、宽 $\frac{L}{4}$；$S_{\max }=\frac{L^2}{8}$

方法推广：靠墙一边不占篱笆

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积
• 1977-山东B-11 解-隧道断面最值