1977-陕西-11 解-椭圆内接矩形最值

本题导读

本题考查椭圆内接矩形面积最值（参考题）。核心在于设半长为 x，用均值不等式求最大值。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 在一个椭圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，内接矩形长 $2x$、宽 $\frac{2b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$，面积 $S=4\frac{b}{a}x\sqrt{a^2-x^2}\le 2ab$。

✅【答案】

Success

长、宽分别为半长轴、半短轴的 $\sqrt{2}$ 倍时面积最大，最大面积为 $2ab$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。内接矩形 $ABCD$ 的长 $AD=2x$，则宽 $CD=\frac{2b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$。面积 $S(x)=4\frac{b}{a}x\sqrt{a^2-x^2}=4\frac{b}{a}\sqrt{x^2(a^2-x^2)}\le 4\frac{b}{a}\cdot \frac{x^2+(a^2-x^2)}{2}=2ab$。等号在 $x^2=a^2-x^2$ 即 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 时成立，此时 $S$ 最大为 $2ab$，且 $AD=\sqrt{2}a$、$CD=\sqrt{2}b$。答：当内接矩形的长、宽分别是椭圆半长轴、半短轴的 $\sqrt{2}$ 倍时面积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆内接矩形最值

核心方法：设内接矩形半长为 x，用均值不等式求面积最大值

避坑指南：$S=4\frac{b}{a}x\sqrt{a^2-x^2}\le 2ab$，当 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 时取等，最大面积 $2ab$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆内接矩形最值，考查均值不等式。

结论推广：椭圆内接矩形最大面积 2ab，在长宽为半轴 √2 倍时取得。

方法推广：均值不等式 $\sqrt{x^2(a^2-x^2)}\le \frac{a^2}{2}$ 是本题核心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.14 三角代换

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-08 解-椭圆内接矩形
• 1977-湖北-02 解-篱笆围场最值