1977-山西-08 解-直线与圆相切

本题导读

本题考查直线与圆相切的条件。核心在于联立方程用判别式为零求参数。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） 当 $k$ 取何值时，直线 $kx-y-3=0$ 与圆 $2x^2+2y^2-9=0$ 相切，并求出切点坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

直线代入圆方程，判别式为零解 $k$，再回代求切点。

✅【答案】

Success

$k=\pm 1$，切点 $(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$ 和 $(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$

✍【详细解析】

Abstract

联立 $\{\begin{array}{l}kx-y-3=0\\ 2x^2+2y^2-9=0\end{array}$，消去 $y$ 得交点横坐标 $x=\frac{6k\pm 3\sqrt{2(k^2-1)}}{2(k^2+1)}$。当 $2(k^2-1)=0$，即 $k=\pm 1$ 时直线与圆相切，切点为 $(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$ 和 $(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切

核心方法：判别式

避坑指南：直线代入圆方程，判别式为零求 $k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相切

结论推广：$k=\pm 1$，切点 $(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$

方法推广：判别式为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1989-上海-23 解-夹角为45度的直线方程
• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质