2000-广东卷理-10 单-直线方程与斜率

本题导读

本题考查直线与圆相切的几何条件及直线的倾斜情况。解题核心在于利用“圆心到直线的距离等于半径”快速求出直线的斜率，再结合“切点在第三象限”的图象特征，确定斜率的正负号，从而锁定正确答案。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 过原点的直线与圆 $x^2+y^2+4x+3=0$ 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()

A. $y=\sqrt{3}x$　　　B. $y=-\sqrt{3}x$　　　C. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$　　　D. $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程通过配方化为标准方程，明确圆心坐标和半径。
2. 设出过原点的直线方程 $y=kx$。
3. 利用直线与圆相切的几何等价条件：圆心到直线的距离 $d$ 等于圆的半径 $r$，列出关于斜率 $k$ 的方程并求解。
4. 分析“切点在第三象限”这一约束条件，判定直线的走向，从而舍去不符合题意的斜率。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程 $x^2+y^2+4x+3=0$ 配方，得： $(x+2{)}^2+y^2=1$ 由此可知，圆心坐标为 $C(-2,0)$，半径为 $r=1$。

设过原点的切线方程为 $y=kx$，即 $kx-y=0$。 因为直线与圆相切，所以圆心 $C(-2,0)$ 到该直线的距离等于半径 $r=1$。根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|-2k-0|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=1$ 即： $|-2k|=\sqrt{k^2+1}$ 两边同时平方： $4k^2=k^2+1$ $3k^2=1⟹k^2=\frac{1}{3}⟹k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

由于直线过原点，且切点位于第三象限（即横、纵坐标均为负值），这意味着直线必定经过第一和第三象限，所以直线的斜率 $k$ 必须大于 $0$。 因此，舍去 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，取 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

该直线的方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。

正确选项为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程与标准方程的互化；直线与圆相切的距离判定法（$d=r$）。
2. 核心方法：处理直线与圆相切问题时，优先选用几何法（点到直线距离公式）而非代数法（联立方程判别式 $\Delta =0$），可大幅简化运算过程。
3. 避坑指南：解出两个斜率后，极易忽略题目中“切点在第三象限”的限制条件。画出简图可直观判断切线斜率必须为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何中“过圆外一点求圆切线”的标准基础模型题。
2. 结论推广：在求过定点的圆的切线时，若该点在圆外，切线必然有两条。如果通过解析计算只求得一个斜率，则说明另一条切线的斜率不存在（即垂直于 $x$ 轴），此时需结合图形补上形如 $x=a$ 的切线方程。本题中由于解出两个互为相反数的斜率，且斜率均存在，故无需此步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切