1993-新高考理-03 单-直线关于坐标轴的对称

本题导读

本题考查解析几何中的对称问题，以及直线关于坐标轴的对称变换。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 和直线 $3x-4y+5=0$ 关于 $x$ 轴对称的直线的方程为 ()

A. $3x+4y-5=0$　　　　　　　　　　　B. $3x+4y+5=0$ C. $-3x+4y-5=0$　　　　　　　　　　　D. $-3x+4y+5=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 设所求直线上任意一点的坐标为 $(x,y)$，则它关于 $x$ 轴的对称点为 $(x,-y)$。根据对称性，这个对称点必定在原直线 $3x-4y+5=0$ 上。
2. 第二步： 将对称点的坐标 $(x,-y)$ 代入原直线方程，即用 $x$ 代替原方程中的 $x$，用 $-y$ 代替原方程中的 $y$，化简即可得到所求的直线方程。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：设所求直线上任意一点的坐标为 $P(x,y)$。 则点 $P(x,y)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P^{\prime }(x,-y)$。 因为点 $P^{\prime }$ 在已知直线 $3x-4y+5=0$ 上，将 $P^{\prime }$ 的坐标代入已知直线方程得： $3x-4(-y)+5=0$ 化简得： $3x+4y+5=0$ 故正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 曲线关于坐标轴对称的代数特征。关于 $x$ 轴对称，横坐标不变，纵坐标变号（即 $y\to -y$）。
2. 核心方法： 坐标代换法（相关点法）。求曲线 $f(x,y)=0$ 关于 $x$ 轴对称的曲线方程，只需将其中的 $y$ 整体替换为 $-y$，即 $f(x,-y)=0$。
3. 避坑指南： - 容易混淆关于 $x$ 轴对称与关于 $y$ 轴对称的规律。记住口诀：“关于谁对称，谁就不变，另一个变号”。例如关于 $x$ 轴对称，则 $x$ 不变，$y$ 变为 $-y$。
   • 在代换 $-y$ 时，注意括号与符号的乘除运算，避免出现 $3x-4-y+5=0$ 这种低级的符号计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题源自教材中“直线的方程”与“图形的对称”的结合点，是解析几何中最为基础的变换题型。
2. 结论推广（常见对称变换公式）： 已知原曲线方程为 $f(x,y)=0$：
   • 关于 $x$ 轴对称的曲线方程为：$f(x,-y)=0$
   • 关于 $y$ 轴对称的曲线方程为：$f(-x,y)=0$
   • 关于原点对称的曲线方程为：$f(-x,-y)=0$
   • 关于直线 $y=x$ 对称的曲线方程为：$f(y,x)=0$
   • 关于直线 $y=-x$ 对称的曲线方程为：$f(-y,-x)=0$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切