1977-云南-04 解-圆切线方程

本题导读

本题考查过圆上一点的切线方程。核心在于切点公式 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$ 直接代入。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 求过 $x^2+y^2=4$ 上一点 $P(1,\sqrt{3})$ 的切线 $L$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

圆心在原点、半径 r=2，切点 (1,√3)，直接代入 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$。

✅【答案】

Success

$x+\sqrt{3}y-4=0$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心为原点，半径 $r=2$。过圆上一点 $P(1,\sqrt{3})$ 的切线方程为 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$，即 $1\cdot x+\sqrt{3}\cdot y=4$，也就是 $x+\sqrt{3}y-4=0$。答：切线 $L$ 的方程是 $x+\sqrt{3}y-4=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆切线方程

核心方法：切点公式 x₁x+y₁y=r² 直接代入

避坑指南：切点必须在圆上；结果化成一般式或斜截式均可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的切线方程公式，是解析几何基础题。

结论推广：切点 (x₁,y₁) 在圆 x²+y²=r² 上的切线 x₁x+y₁y=r² 可直接使用。

方法推广：直接代切点公式比“设斜率、判别式=0”更快捷，注意圆心在原点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切