1977-陕西-08 解-椭圆焦点切线

本题导读

本题考查椭圆焦点与圆的切线。核心在于由椭圆求焦点 (5,0)，设切点用切点公式联立。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 求过椭圆 $\frac{x^2}{13^2}+\frac{y^2}{12^2}=1$ 的右侧焦点，且与圆 $x^2+y^2=9$ 相切的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

$c=\sqrt{13^2-12^2}=5$，右焦点 (5,0)；设切点 $(x_1,y_1)$，切线 $x_{1}x+y_{1}y=9$ 过 (5,0) 得 $5x_1=9$，且 $x_1^2+y_1^2=9$。

✅【答案】

Success

$3x+4y-15=0$ 和 $3x-4y-15=0$

✍【详细解析】

Abstract

半长轴 $a=13$、半短轴 $b=12$，所以 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，右焦点为 $(5,0)$。设切点为 $(x_1,y_1)$，则切线方程为 $x_{1}x+y_{1}y=9$。因切线过焦点 $(5,0)$，故 $5x_1=9$。又切点在圆上，$x_1^2+y_1^2=9$。解 $5x_1=9$ 与 $x_1^2+y_1^2=9$ 得 $x_1=\frac{9}{5}$、$y_1=\pm \frac{12}{5}$。代入切线方程得 $9x+12y-45=0$ 与 $9x-12y-45=0$，化简为 $3x+4y-15=0$ 和 $3x-4y-15=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点切线

核心方法：由椭圆求焦点 (5,0)，设切点 (x₁,y₁) 用切点公式联立

避坑指南：$c=\sqrt{13^2-12^2}=5$；切线 $x_{1}x+y_{1}y=9$ 过 (5,0) 得 $5x_1=9$，$x_1^2+y_1^2=9$，得切线 $3x\pm 4y-15=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆的焦点与圆的切线，考查切点公式。

结论推广：过椭圆焦点作圆的切线，用切点公式 x₁x+y₁y=r² 联立。

方法推广：圆方程是 x²+y²=9（半径 3），注意与 32 的辨析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-云南-04 解-圆切线方程
• 1977-山东A-05 解-椭圆焦点坐标