1977-山西-02 解-对数与函数定义域

本题导读

本题考查对数换底公式与函数定义域。核心在于换底公式化简与真数大于零的条件。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） (1)当 $a,b,c>0$ 时，求证：${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c\cdot {\log }_{c}a=1$；

(2)已知 $y=\lg \frac{1}{1-\sqrt{1-x}}$，求定义域；

(3)汽车往返甲乙两地之间，上行速度为 $30$ 公里/小时，下行速度为 $60$ 公里/小时，求往返平均速度.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)用换底公式；(2)由真数大于零列不等式组；(3)总路程除以总时间。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$0<x\le 1$；(3)$40$ 公里/小时

✍【详细解析】

Abstract

(1)因 $a,b,c>0$，${\log }_{a}b=\frac{\lg b}{\lg a}$、${\log }_{b}c=\frac{\lg c}{\lg b}$、${\log }_{c}a=\frac{\lg a}{\lg c}$，故 ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c\cdot {\log }_{c}a=\frac{\lg b}{\lg a}\cdot \frac{\lg c}{\lg b}\cdot \frac{\lg a}{\lg c}=1$。 (2)要使 $y=\lg \frac{1}{1-\sqrt{1-x}}$ 有意义，须 $1-\sqrt{1-x}>0$ 且 $1-x\ge 0$，解得 $0<x\le 1$。 (3)设两地距离为 $m$ 公里，上行时间 $\frac{m}{30}$、下行时间 $\frac{m}{60}$，平均速度 $V=\frac{2m}{\frac{m}{30}+\frac{m}{60}}=40$ 公里/小时。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与函数定义域

核心方法：换底公式

避坑指南：${\log }_{a}b=\frac{\lg b}{\lg a}$，定义域由真数大于零确定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数

结论推广：定义域 $0<x\le 1$，平均速度 $40$

方法推广：换底公式与定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-13 单-对数函数的定义域
• 1983-全国文-05 单-指数对数与幂的大小比较