1977-山东A-13 解-定积分证椭圆面积

本题导读

本题考查定积分应用（参考题，大学内容）。核心在于先积第一象限面积，令 $x=a\sin t$ 换元，${\cos }^{2}t$ 降幂积分得 $\frac{\pi ab}{4}$，由对称性乘 $4$。

📌【题干】

Question

（1977年山东A卷） 利用定积分证明：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的面积 $S=\pi ab$.

🔍【思路分析】

破题导航

$S^{\prime }={\int }_0^{a}b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx=\frac{b}{a}{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$；令 $x=a\sin t$，化为 $ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt=ab{\left[\frac{\sin 2t}{4}+\frac{t}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi ab}{4}$；$S=4S^{\prime }=\pi ab$。

✅【答案】

Success

证明见解析（$S=\pi ab$）

✍【详细解析】

Abstract

先求椭圆在第一象限内的面积 $S^{\prime }={\int }_0^{a}b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx=\frac{b}{a}{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$。 令 $x=a\sin t$，则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$，$dx=a\cos tdt$（$0\le t\le \frac{\pi }{2}$）。因此 $S^{\prime }=\frac{b}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}a\cos t\cdot a\cos tdt=ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt=ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos 2t+1}{2}dt=ab\left(\frac{\sin 2t}{4}+\frac{t}{2}\right){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi ab}{4}$。 由对称性，椭圆的面积 $S=4S^{\prime }=\pi ab$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分证椭圆面积

核心方法：第一象限积分乘 4

避坑指南：令 $x=a\sin t$ 换元，$\int {\cos }^{2}tdt$ 降幂

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$S=\pi ab$

方法推广：换元降幂套路

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-江西-21 解-抛物线围成面积定积分
• 1977-辽宁-13 解-定积分求面积