1977-安徽理-05 解-等差角与正弦定理

本题导读

本题考查等差角与正弦定理。核心在于 $A+C=2B$ 定出 $B=60^{\circ }$，边比化为 $\frac{\sin A}{\sin C}$ 后归为单一变量 $C$。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） 已知 $△ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 成等差数列，且最大角与最小角的对边之比是 $(\sqrt{3}+1):2$，试求此三角形三个内角的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

$A+C=2B$ 且 $A+B+C=180^{\circ }$ 得 $B=60^{\circ }$、$A+C=120^{\circ }$；$\frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{\sin (120^{\circ }-C)}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2}=(\sqrt{3}+1):2$，解出 $\cot C=1$。

✅【答案】

Success

三个内角是 $75^{\circ }$，$60^{\circ }$，$45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

假定三内角以 $A$，$B$，$C$ 次序由大到小成等差数列，则 $A+C=2B$，所以 $A+B+C=2B+B=3B=180^{\circ }$，即 $B=60^{\circ }$，且 $A+C=120^{\circ }$。又已知 $\frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，而 $\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{\sin (120^{\circ }-C)}{\sin C}=\frac{\sin 120^{\circ }\cos C-\cos 120^{\circ }\sin C}{\sin C}=\sin 120^{\circ }\cot C-\cos 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2}$，所以 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，得 $\cot C=1$，故 $C=45^{\circ }$，从而 $A=120^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$。答：三角形三内角是 $75^{\circ }$，$60^{\circ }$，$45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差角与正弦定理

核心方法：等差中项+正弦定理

避坑指南：$A+C=2B$ 得 $B=60^{\circ }$；$\frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}$ 化一角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求角

结论推广：$75^{\circ }$，$60^{\circ }$，$45^{\circ }$

方法推广：等差中项定 $B$，正弦定理化边比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角
• 1977-吉林-10 解-正弦定理测量