1977-吉林-10 解-正弦定理测量

本题导读

本题考查正弦定理在间接测量中的应用。核心在于在两个三角形中分别求出 $AC$、$BC$，再用勾股定理求 $AB$。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 修建水库时，欲测两山腰上 $A$，$B$ 两点间的距离，在某处选与 $A$，$B$ 在同一平面内 $C$，$D$ 两点，测得 $CD=200$ 米，$\angle ACD=105^{\circ }$，$\angle BCD=15^{\circ }$，$\angle BDC=120^{\circ }$，$\angle ADC=30^{\circ }$，试求 $AB$.

🔍【思路分析】

破题导航

$△ACD$ 与 $△BCD$ 中各求一内角，用正弦定理求 $AC$、$BC$；由 $\angle ACB=105^{\circ }-15^{\circ }=90^{\circ }$ 勾股求 $AB$。

✅【答案】

Success

$AB=200\sqrt{2}$ 米

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ACD$ 中，$\angle CAD=180^{\circ }-105^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ }$，由正弦定理 $AC=\frac{200\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=100\sqrt{2}$ 米。在 $△BCD$ 中，$\angle CBD=180^{\circ }-120^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$，由正弦定理 $BC=\frac{200\sin 120^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=100\sqrt{6}$ 米。在 $△ACB$ 中，$\angle ACB=\angle ACD-\angle BCD=105^{\circ }-15^{\circ }=90^{\circ }$，由勾股定理 $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{(100\sqrt{2}{)}^2+(100\sqrt{6}{)}^2}=200\sqrt{2}$ 米。答：$AB$ 长为 $200\sqrt{2}$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理测量

核心方法：正弦定理解三角形

避坑指南：在 $△ACD$、$△BCD$ 分别求边，再勾股算 $AB$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测量

结论推广：$AB=200\sqrt{2}$ 米

方法推广：两次正弦定理+勾股

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角
• 2009-辽宁文-18 解-仰角测量解三角形