1977-山东A-10 解-正余弦定理测距

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于先在 $△BCD$ 中用正弦定理求 $BC$，再在 $△ABC$ 中用余弦定理求 $AB$（注意 $\angle ACB=60^{\circ }+75^{\circ }=135^{\circ }$）。

📌【题干】

Question

（1977年山东A卷） 我炮兵阵地位于 $A$，两观察所分别设于 $C$，$D$，已知 $△ACD$ 为一正三角形，且 $CD=a$，当目标出现于 $B$ 时，测得 $\angle CDB=45^{\circ }$，$\angle BCD=75^{\circ }$，求炮目距离 $AB$.

🔍【思路分析】

破题导航

$△BCD$ 中 $\angle B=60^{\circ }$，正弦定理 $BC=\frac{a\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$；$△ABC$ 中 $\angle ACB=135^{\circ }$，余弦定理 $A{B}^2=a^2+\frac{2}{3}{a}^2-2a\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a\cos 135^{\circ }$。

✅【答案】

Success

$AB=\frac{\sqrt{15+6\sqrt{3}}}{3}a$

✍【详细解析】

Abstract

$\angle B=180^{\circ }-(45^{\circ }+75^{\circ })=60^{\circ }$。 在 $△BCD$ 中，由正弦定理知 $BC=\frac{a\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$。 在 $△ABC$ 中，$AC=a$，$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=60^{\circ }+75^{\circ }=135^{\circ }$，根据余弦定理 $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle ACB}=\sqrt{a^2+\frac{2}{3}{a}^2-2a\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a\cos (75^{\circ }+60^{\circ })}=\sqrt{\frac{5}{3}{a}^2+\frac{2\sqrt{6}}{3}{a}^2\cos 45^{\circ }}=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{3}}{3}}a=\frac{\sqrt{15+6\sqrt{3}}}{3}a$。 答：炮目距离 $AB=\frac{\sqrt{15+6\sqrt{3}}}{3}a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正余弦定理测距

核心方法：双三角形接力

避坑指南：$△BCD$ 正弦定理求 $BC$，$△ABC$ 余弦定理求 $AB$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测距

结论推广：$AB=\frac{\sqrt{15+6\sqrt{3}}}{3}a$

方法推广：先解 $△BCD$ 再解 $△ABC$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-福建文-06 解-正弦定理测量
• 1977-吉林-10 解-正弦定理测量
• 2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角