1977-陕西-09 解-余弦定理求边

本题导读

本题考查余弦定理求边。核心在于已知两边及夹角用余弦定理列方程求第三边。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 三角形的一内角为 $30^{\circ }$，它的一邻边长为 4，对边长为 $\frac{5}{2}$，求另一边长.

🔍【思路分析】

破题导航

设另一边为 $x$，由余弦定理 ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=x^2+4^2-2x\cdot 4\cos 30^{\circ }$。

✅【答案】

Success

$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$ 或 $\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设另一边长为 $x$。由余弦定理，${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot 4\cos 30^{\circ }$，即 $\frac{25}{4}=x^2+16-4\sqrt{3}x$，整理得 $4x^2-16\sqrt{3}x+39=0$。所以 $x=\frac{16\sqrt{3}\pm \sqrt{768-624}}{8}=\frac{16\sqrt{3}\pm 12}{8}=\frac{4\sqrt{3}\pm 3}{2}$。故另一边长为 $\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$ 或 $\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求边

核心方法：余弦定理列方程求第三边

避坑指南：${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=x^2+4^2-2x\cdot 4\cos 30^{\circ }$，得 $4x^2-16\sqrt{3}x+39=0$，$x=\frac{4\sqrt{3}\pm 3}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于余弦定理，考查已知两边及夹角求第三边。

结论推广：余弦定理 c²=a²+b²-2abcosC 可求第三边，且有两解。

方法推广：一元二次方程两根对应两个可能的三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-08 解-余弦定理测距
• 1977-山东A-10 解-正余弦定理测距