1977-北京文-08 解-余弦定理测距

本题导读

本题考查余弦定理解三角形测距。核心在于用两边夹一角求第三边。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(文)） 为了测湖岸边 $A$、$B$ 两点的距离，选择一点 $C$，测得 $CA=50$ 米，$CB=30$ 米，$\angle ACB=120^{\circ }$，求 $AB$.

🔍【思路分析】

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由余弦定理 $A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2CA\cdot CB\cos 120^{\circ }$。

✅【答案】

Success

$70$ 米

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2CA\cdot CB\cos \angle ACB=50^2+30^2-2\times 50\times 30\cos 120^{\circ }=2500+900+1500=4900$。长度为正，故 $AB=\sqrt{4900}=70$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理测距

核心方法：余弦定理

避坑指南：$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 代入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形

结论推广：$AB=70$ 米

方法推广：余弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-10 填-余弦定理解三角形
• 1979-全国文-05 解-解三角形与余切