1981-全国理-04 解-余弦定理的证明

本题导读

本题考查余弦定理的叙述与证明，采用坐标法最为简洁且对锐角、直角、钝角统一适用。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 4. 写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

任取 $△ABC$，以 $C$ 为原点、$CB$ 为 $x$ 轴建系，点 $A$ 坐标为 $(b\cos C,b\sin C)$，用两点距离公式展开。

✅【答案】

Success

余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$（以角 $A$ 对边 $a$ 为例）。证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，设内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$。任取角 $A$ 对边 $a$ 为例，余弦定理为 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。 证明：以 $C$ 为原点、$CB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $C(0,0)$，$B(a,0)$，点 $A$ 的坐标为 $(b\cos C,b\sin C)$。于是 $c^2=|AB{|}^2=(b\cos C-a{)}^2+(b\sin C-0{)}^2=b^2{\cos }^{2}C-2ab\cos C+a^2+b^2{\sin }^{2}C$ $=a^2+b^2({\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C)-2ab\cos C=a^2+b^2-2ab\cos A$。 定理得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理的证明

核心方法：坐标建系法证余弦

避坑指南：以 $C$ 为原点、$CB$ 为 $x$ 轴建系，点 $A$ 坐标为 $(b\cos C,b\sin C)$，再用距离公式展开

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形中的余弦定理

结论推广：余弦定理是向量内积的几何体现

方法推广：解析法统一处理锐角、直角、钝角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-新疆理-08 解-余弦定理求最大角
• 1977-北京文-08 解-余弦定理测距