1977-广西百色理-08 解-射影定理三式

本题导读

本题考查射影定理证明。核心在于作 $AD\perp BC$ 拆两个直角三角形，投影相加。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(理)） 已知 $A$，$B$，$C$ 是 $△ABC$ 的三个内角，求证 $a=b\cos C+c\cos B$，$b=c\cos A+a\cos C$，$c=a\cos B+b\cos A$.

🔍【思路分析】

破题导航

作 $AD\perp BC$，则 $BD=c\cos B$、$DC=b\cos C$，相加即 $a$；轮换同理。

✅【答案】

Success

$a=b\cos C+c\cos B$，$b=c\cos A+a\cos C$，$c=a\cos B+b\cos A$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：作 $AD\perp BC$，则 $△ABD$ 和 $△ACD$ 都是直角三角形。所以 $BD=c\cos B$，$DC=b\cos C$。又 $a=BC=BD+DC=b\cos C+c\cos B$。同理可证 $b=c\cos A+a\cos C$，$c=a\cos B+b\cos A$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：射影定理三式

核心方法：作高拆直角三角形

避坑指南：$BD=c\cos B$、$DC=b\cos C$，相加即 $a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：射影定理

结论推广：$a=b\cos C+c\cos B$ 等三式

方法推广：三角形垂径分解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 1977-河南-04 解-正弦定理证恒等式
• 1977-安徽理-05 解-等差角与正弦定理