1977-河南-04 解-正弦定理证恒等式

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于由 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ 得 $a sin B = b sin A$ 等三式，代入展开后正负相消归零。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷）已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别表示 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边的长，求证： $a (sin B - sin C) + b (sin C - sin A) + c (sin A - sin B) = 0$ .

🔍【思路分析】

破题导航

由正弦定理 $a sin B = b sin A$ ， $a sin C = c sin A$ ， $b sin C = c sin B$ ；展开六项两两配对消为零。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理， $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ 。可知 $a sin B = b sin A$ ， $a sin C = c sin A$ ， $b sin C = c sin B$ 。因此 $a (sin B - sin C) + b (sin C - sin A) + c (sin A - sin B)$ $= a sin B - a sin C + b sin C - b sin A + c sin A - c sin B$ $= b sin A - c sin A + c sin B - b sin A + c sin A - c sin B = 0$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理证恒等式

核心方法：正弦定理交叉相乘

避坑指南： $a sin B = b sin A$ 等三式代入展开归零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：恒等于 $0$

方法推广：正弦定理转化边角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

1981-全国文-05 解-正弦定理的证明

∑ ( Math )

Explorer

1977-河南-04 解-正弦定理证恒等式

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks