1977-贵州-09 解-韦达+和角求值

本题导读

本题考查韦达定理与三角综合。核心在于切化弦提出 ${\cos }^2(\alpha +\beta )$，凑出韦达结构。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 已知方程 $x^2+px+q=0$ 的两个根为 $\tan \alpha$ 与 $\tan \beta$，求 ${\sin }^2(\alpha +\beta )+p\sin (\alpha +\beta )\cos (\alpha +\beta )+q{\cos }^2(\alpha +\beta )$ 的值（其中 $p$，$q$ 为任意实常数）.

🔍【思路分析】

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$\tan (\alpha +\beta )=\frac{-p}{1-q}$；原式 $={\cos }^2(\alpha +\beta )[{\tan }^2(\alpha +\beta )+p\tan (\alpha +\beta )+q]$，代入化简得 $q$。

✅【答案】

Success

$q$（当 $q\ne 1$）；当 $q=1$ 时原式 $=1$

✍【详细解析】

Abstract

根据根与系数的关系，$\tan \alpha +\tan \beta =-p$，$\tan \alpha \cdot \tan \beta =q$。当 $q\ne 1$ 时，$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{-p}{1-q}$。因此原式 $={\cos }^2(\alpha +\beta )\left[{\tan }^2(\alpha +\beta )+p\tan (\alpha +\beta )+q\right]$。又因 ${\cos }^2(\alpha +\beta )=\frac{1}{1+{\tan }^2(\alpha +\beta )}$，所以原式 $=\frac{{\tan }^2(\alpha +\beta )+p\tan (\alpha +\beta )+q}{1+{\tan }^2(\alpha +\beta )}$。代入 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{-p}{1-q}$，通分得原式 $=\frac{p^2-p^2(1-q)+q(1-q{)}^2}{p^2+(1-q{)}^2}=\frac{q\left[p^2+(1-q{)}^2\right]}{p^2+(1-q{)}^2}=q$。当 $q=1$ 时，$\tan \alpha \tan \beta =1$，则 $\cos (\alpha +\beta )=0$，$\sin (\alpha +\beta )=\pm 1$，因此原式 $=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：韦达+和角求值

核心方法：切化弦+韦达

避坑指南：原式 $={\cos }^2(\alpha +\beta )\cdot [{\tan }^2(\alpha +\beta )+p\tan (\alpha +\beta )+q]$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：韦达定理

结论推广：$q$（$q\ne 1$）；$q=1$ 时为1

方法推广：切化弦凑韦达结构

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-03 解-韦达定理求参数
• 1977-安徽理-05 解-等差角与正弦定理