1977-陕西-06 解-韦达定理条件

本题导读

本题考查韦达定理与三角联立。核心在于设两根为 sinα、cosα，用 sin²+cos²=1 建立 p、q 关系。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 实数 $p$，$q$ 应满足怎样的条件，才能使方程 $x^2+px+q=0$ 的两根成为一直角三角形两锐角的正弦？

🔍【思路分析】

破题导航

设两锐角为 α、90°-α，则两根为 sinα、cosα；由韦达定理 $\sin \alpha +\cos \alpha =-p$、$\sin \alpha \cos \alpha =q$，平方得 $1+2q=p^2$。

✅【答案】

Success

$1+2q=p^2$，且 $-\sqrt{2}\le p<-1$，$0<q\le \frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设方程两根为 $x_1=\sin \alpha$、$x_2=\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）。由韦达定理 $\sin \alpha +\cos \alpha =-p$，$\sin \alpha \cos \alpha =q$。将第一式平方：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha =p^2$，即 $1+2q=p^2$。又 $p=-(\sin \alpha +\cos \alpha )=-\sqrt{2}\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$，因 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 得 $-\sqrt{2}\le p<-1$；$q=\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}\sin 2\alpha$，得 $0<q\le \frac{1}{2}$。故 $p$、$q$ 满足：$1+2q=p^2$ 且 $-\sqrt{2}\le p<-1$、$0<q\le \frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：韦达定理条件

核心方法：设两根为 sinα、cosα，用韦达定理与平方关系联立

避坑指南：$\sin \alpha +\cos \alpha =-p$、$\sin \alpha \cos \alpha =q$，得 $1+2q=p^2$，且 $-\sqrt{2}\le p<-1$、$0<q\le \frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于韦达定理与三角的联立，考查根的条件。

结论推广：两根为 sinα、cosα 时，用 sin²+cos²=1 建立 p、q 关系。

方法推广：不要漏掉 p、q 的取值范围（-√2≤p←1、0<q≤1/2）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-山西-06 解-韦达定理与三角
• 1977-贵州-09 解-韦达+和角求值