1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切

本题导读

本题考查过点的切线方程。核心在于切线与半径垂直、斜率积为 $-1$。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） 已知直线 $3x+y=5$ 及 $2x-3y+4=0$ 交于 $A$ 点.求：(1)过 $A$ 点且与 $y$ 轴垂直的直线方程；(2)过 $A$ 点且与圆 $x^2+y^2=1$ 相切的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

先求交点 $A$，再分别求水平线与切线。

✅【答案】

Success

(1)$y=2$；(2)$3x-4y+5=0$ 和 $x=1$

✍【详细解析】

Abstract

解 $\{\begin{array}{l}3x+y=5\\ 2x-3y+4=0\end{array}$ 得 $x=1,y=2$，即 $A(1,2)$。 (1)过 $A$ 与 $y$ 轴垂直的直线为 $y=2$。 (2)设切点 $P(x,y)$，切线过 $A$ 斜率 $k_1=\frac{y-2}{x-1}$，半径 $OP$ 斜率 $k_2=\frac{y}{x}$，由垂直 $k_1{k}_2=-1$ 且 $x^2+y^2=1$，解得切点 $(1,0)$、$(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$。由两点式得切线 $3x-4y+5=0$ 和 $x=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切

核心方法：切线条件

避坑指南：过点的切线与半径垂直，斜率积 $-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线

结论推广：$y=2$；$3x-4y+5=0$、$x=1$

方法推广：切线斜率垂直

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1989-上海-23 解-夹角为45度的直线方程
• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质