2006-湖南文-20 解-逆序数新定义与放缩

本题导读

本题考查数列新定义。核心在于新定义理解与放缩法。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 在 $m$（$m⩾2$）个不同数的排列 $P_1{P}_2\cdots P_m$ 中，若 $1⩽i<j⩽m$ 时 $P_i>P_j$（即前面某数大于后面某数），则称 $P_i$ 与 $P_j$ 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列 $(n+1)n(n-1)\cdots 321$ 的逆序数为 $a_n$，如排列 $21$ 的逆序数 $a_1=1$，排列 $321$ 的逆序数 $a_2=3$，排列 $4321$ 的逆序数 $a_3=6$．

(1) 求 $a_4$、$a_5$，并写出 $a_n$ 的表达式；

(2) 令 $b_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+1}}{a_n}$，证明：$2n<b_1+b_2+\cdots +b_n<2n+3$，$n=1,2,\cdots$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 排列 $(n+1)n\cdots 321$ 中，每个数与它后面所有数都构成逆序：首位 $(n+1)$ 贡献 $n$ 个，次位 $n$ 贡献 $n-1$ 个，……共 $n+(n-1)+\cdots +1=\frac{n(n+1)}{2}$。
2. $a_4=\frac{4\times 5}{2}=10$，$a_5=\frac{5\times 6}{2}=15$。
3. (2) $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$，$a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，故 $b_n=\frac{n}{n+2}+\frac{n+2}{n}$。
4. $\frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}$，$\frac{n+2}{n}=1+\frac{2}{n}$，故 $b_n=2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}$。
5. 求和：$\sum _{k=1}^n{b}_k=2n+2\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=2n+3-\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}$。
6. $0<\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n+2}<\frac{2}{1}+\frac{2}{2}=3$，故 $2n<\sum b_k<2n+3$。

✅【答案】

Success

(1) $a_4=10$，$a_5=15$，$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）排列 $(n+1)n(n-1)\cdots 321$ 严格递减，任意两个数都构成逆序． 首位 $(n+1)$ 与后面 $n$ 个数各构成一个逆序，次位 $n$ 与后面 $n-1$ 个数各构成一个逆序，……，故 $a_n=n+(n-1)+\cdots +2+1=\frac{n(n+1)}{2}.$ 于是 $a_4=\frac{4\times 5}{2}=10$，$a_5=\frac{5\times 6}{2}=15$．

（2）由 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$，$a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，得 $b_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+2}+\frac{n+2}{n}=\left(1-\frac{2}{n+2}\right)+\left(1+\frac{2}{n}\right)=2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}.$ 裂项求和： ${\sum }_{k=1}^n{b}_k={\sum }_{k=1}^n\left(2+\frac{2}{k}-\frac{2}{k+2}\right)=2n+2{\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right).$ 其中 ${\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}.$ 故 $b_1+b_2+\cdots +b_n=2n+3-\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}.$ 因为 $n⩾1$ 时 $0<\frac{2}{n+1}+\frac{2}{n+2}⩽\frac{2}{2}+\frac{2}{3}<3$，所以 $2n<b_1+b_2+\cdots +b_n<2n+3.$ 证毕．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：逆序数新定义与放缩

核心方法：逆序数 $a_n=n+(n-1)+\cdots +1=\frac{n(n+1)}{2}$；$b_n=\frac{n}{n+2}+\frac{n+2}{n}=2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}$，裂项求和夹逼

避坑指南：排列 $(n+1)n\cdots 1$ 的逆序数是等差和；$b_n$ 先化”$2+$部分分数”再求和 $2n+3-\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 逆序数新定义与数列放缩，创新题

结论推广: $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$；$b_n=2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}$ 裂项求和

方法推广: 新定义题先算前几项找规律，再化简通项用夹逼

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-05 单-数列递推累加裂项
• 2008-江西文-19 解-等差等比裂项求和
• 2008-湖南文-15 填-取整组合数新定义
• 2008-福建文-16 填-数域新定义