2004-北京卷文-14 填-等和数列定义与新概念

本题导读

本题考查等和数列的新定义，以及前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 定义”等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 $\{a_n\}$ 是等和数列，且 $a_1=2$，公和为 $5$，那么 $a_{18}$ 的值为 $\underline{}$，且这个数列的前 $21$ 项和 $S_{21}$ 的计算公式为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_n+a_{n+1}=5$，$a_1=2$，故 $a_2=3,a_3=2,a_4=3,\cdots$。
2. 奇偶项交替 $2,3$。
3. $a_{18}=3$；$S_{21}=10\times 5+a_{21}$。

✅【答案】

Success

$3$，$S_{21}=52$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_n+a_{n+1}=5$ 且 $a_1=2$，得 $a_2=3$，$a_3=2$，$a_4=3$，…，即奇数项均为 $2$、偶数项均为 $3$（因 $a_{n+2}=5-a_{n+1}=a_n$，周期为 $2$）．故 $a_{18}=3$.前 $21$ 项中奇数项 $11$ 个、偶数项 $10$ 个，$S_{21}=11\times 2+10\times 3=52$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等和数列定义与新概念
2. 核心方法：等和数列 $a_n+a_{n+1}=5$，$a_1=2\Rightarrow a_2=3,a_3=2,a_4=3,\cdots$，即奇偶交替 $2,3$；$a_{18}=3$；$S_{21}=(a_1+a_2)+\cdots +(a_{19}+a_{20})+a_{21}=5\times 10+2=52$
3. 避坑指南：等和数列必 $a_{n+2}=a_n$（周期为 $2$）；$a_{18}$ 为偶项 $=3$；$S_{21}=10\times 5+a_{21}=50+2=52$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于数列新定义，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：满足 $a_{n+1}=k-a_n$ 的数列以 $2$ 为周期，$S_{2m+1}=mk+a_1$；由 $a_n+a_{n+1}=$ 常数推 $a_{n+2}=a_n$，奇偶分组求和

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-22 解-新定义分段函数
• 2006-湖南文-20 解-逆序数新定义与放缩
• 2007-湖南文-10 单-二元子集比值新定义