2005-上海卷文-22 解-新定义分段函数

本题导读

本题考查新定义分段函数的解析式、最值与构造，核心在于按定义域的归属逐段写 $h(x)$，并从目标式逆推构造。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 对定义域是 $D_f$、$D_g$ 的函数 $y=f(x)$、$y=g(x)$，规定：函数 $h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)g(x),& \text{当 }x\in D_f\text{ 且 }x\in D_g,\\ f(x),& \text{当 }x\in D_f\text{ 且 }x\notin D_g,\\ g(x),& \text{当 }x\notin D_f\text{ 且 }x\in D_g.\end{array}$

(1) 若函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+3,& x⩾1,\end{array}$ $g(x)=x-2$（$x\in \mathbf{R}$），写出函数 $h(x)$ 的解析式；

(2) 求问题 (1) 中函数 $h(x)$ 的最大值；

(3) 若 $g(x)=f(x+\alpha )$，其中 $\alpha$ 是常数，且 $\alpha \in [0,\pi ]$，请设计一个定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $y=f(x)$，及一个 $\alpha$ 的值，使得 $h(x)=\cos 4x$，并予以证明．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $g$ 定义域为 $\mathbf{R}$，故 $x⩾1$ 时 $h=f\cdot g=(-2x+3)(x-2)$；$x<1$ 时 $h=g=x-2$。
2. (2) $x⩾1$：$h=-2{\left(x-\frac{7}{4}\right)}^2+\frac{1}{8}⩽\frac{1}{8}$；$x<1$：$h=x-2<-1$。最大值 $\frac{1}{8}$。
3. (3) 取 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$、$\alpha =\frac{\pi }{4}$，则 $g=\cos 2x-\sin 2x$，$h=f\cdot g={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$。

✅【答案】

Success

(1) $h(x)=\{\begin{array}{ll}(-2x+3)(x-2),& x⩾1,\\ x-2,& x<1.\end{array}$

(2) 最大值为 $\frac{1}{8}$

(3) 取 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$、$\alpha =\frac{\pi }{4}$ 即可（答案不唯一），证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $D_g=\mathbf{R}$，故对任意 $x$ 都有 $x\in D_g$；$D_f=[1,+\infty )$． 当 $x⩾1$ 时，$h(x)=f(x)g(x)=(-2x+3)(x-2)$；当 $x<1$ 时，$x\notin D_f$，$h(x)=g(x)=x-2$． 故 $h(x)=\{\begin{array}{ll}(-2x+3)(x-2),& x⩾1,\\ x-2,& x<1.\end{array}$ (2) 当 $x⩾1$ 时，$h(x)=-2x^2+7x-6=-2{\left(x-\frac{7}{4}\right)}^2+\frac{1}{8}⩽\frac{1}{8}$，等号当 $x=\frac{7}{4}⩾1$ 时成立； 当 $x<1$ 时，$h(x)=x-2<-1<\frac{1}{8}$． 故 $h(x)$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$． (3) 取 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$（$x\in \mathbf{R}$），$\alpha =\frac{\pi }{4}$．则 $D_f=D_g=\mathbf{R}$，且 $g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x-\sin 2x$． 于是对任意 $x\in \mathbf{R}$，$h(x)=f(x)g(x)=(\sin 2x+\cos 2x)(\cos 2x-\sin 2x)={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$． 又 $\alpha =\frac{\pi }{4}\in [0,\pi ]$，故构造满足题设．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：按定义域归属分段写解析式；二次函数在闭区间上的最值；由目标式反推构造。
2. 核心方法：(1) 先求 $D_f$、$D_g$，按”交、差”三段归属；(2) 分段求最值后取大者，另一段也要看一眼；(3) 构造题从 $\cos 4x$ 逆推，用辅助角造出一对”相差 $\frac{\pi }{4}$ 平移”的因式。
3. 避坑指南：①$x=1$ 归哪一段由 $D_f=[1,+\infty )$ 决定，写成 $x>1$ 就把这一点漏掉了；②第 (2) 问只算 $x⩾1$ 那段得 $\frac{1}{8}$，但必须再验 $x<1$ 那段确实取不到更大；③第 (3) 问构造完要回代确认 $D_f=D_g=\mathbf{R}$，否则”乘积”这一支根本用不上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：2005 年上海卷理科第 21 题与文科第 22 题是同一道题的两个版本。它把”两个函数各在自己的定义域上取值”写成一条分段规定，是上海卷”新定义函数”系列的开山之作。
2. 结论推广：这条规定的实质是”分段归属由定义域的交与差决定”——交上取乘积，差上取还活着的那个。所以 $h$ 的分段点必然是 $D_f$、$D_g$ 的端点；写解析式之前先把两个定义域画到数轴上，比什么都快。
3. 方法推广：第 (3) 问是倒着出题——目标 $h(x)=\cos 4x$ 已知，反推 $f$ 与 $\alpha$。诀窍是把 $\cos 4x$ 凑成”两个因式的积”，而 $f(x)\cdot f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 这种形状最容易由辅助角公式造出来：取 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$，平移到 $g(x)=\cos 2x-\sin 2x$，相乘正好是 ${\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-22 解-极坐标
• 2009-大纲卷I理-22 解-导数