2002-北京卷文-12 单-凸函数性质判断

本题导读

本题考查函数的凹凸性，以及新定义性质的判断。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 如图所示，$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，$f_4(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的四个函数，其中满足性质：“对 $[0,1]$ 中任意的 $x_1$ 和 $x_2$，$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$ 恒成立”的只有()

A. $f_1(x)$，$f_3(x)$　　B. $f_2(x)$　　C. $f_2(x)$，$f_3(x)$　　D. $f_4(x)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 该性质即”下凸”（凸函数）：中点函数值不大于两端均值。
2. 由图象判断哪些函数满足。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

性质 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 表示函数图象”下凸”（中点处函数值不高于弦），由图象知 $f_1$、$f_3$ 满足，$f_2$、$f_4$ 不满足，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：凸函数性质判断

核心方法：满足 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 的是下凸函数，图象开口向下（凹向下）的 $f_1,f_3$

避坑指南：中点函数值不大于两端均值即下凸（凸函数）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的凹凸性

结论推广：一般地，中点函数值不大于两端均值即下凸

方法推广：用图象凹凸判断

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-22 解-新定义分段函数
• 2005-北京春文-20 解-折线函数新定义
• 2006-湖南文-20 解-逆序数新定义与放缩