2005-北京春文-20 解-折线函数新定义

本题导读

本题考查新定义函数、折线的斜率与不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)）现有一组互不相同且从小到大排列的数据： $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ，其中 $a_{0} = 0$ ．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记 $T = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{5}$ ， $x_{n} = \frac{n}{5}$ ， $y_{n} = \frac{1}{T} (a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n})$ ，作函数 $y = f (x)$ ，使其图象为逐点依次连接点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ （ $n = 0, 1, 2, \dots, 5$ ）的折线．

(1) 求 $f (0)$ 和 $f (1)$ 的值；

(2) 设 $P_{n - 1} P_{n}$ 的斜率为 $k_{n}$ （ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ），判断 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}, k_{5}$ 的大小关系；

(3) 证明： $f (x_{n}) < x_{n}$ （ $n = 1, 2, 3, 4$ ）．

🔍【思路分析】

破题导航

记 $R_{n} = a_{0} + \dots + a_{n}$ ， $y_{n} = \frac{R _{n}}{T}$ ； $R_{5} = T$ 。

$f (0) = 0$ ， $f (1) = 1$ 。

$k_{n} = \frac{y _{n} - y _{n - 1}}{x _{n} - x _{n - 1}} = \frac{a _{n} / T}{1/5} = \frac{5 a _{n}}{T}$ ， $a_{n}$ 递增故 $k_{1} < \dots < k_{5}$ 。

$a_{0} = 0$ 且递增： $R_{n} \leq n a_{n}$ 且 $a_{n + 1} + \dots + a_{5} > (5 - n) a_{n}$ ，故 $n T - 5 R_{n} > 0$ ，即 $y_{n} < \frac{n}{5} = x_{n}$ 。

✅【答案】

Success

因此nT−5Rn= n(T−Rn) −(5 −n)Rn> n(5 −n)an−(5 −n)Rn≥0

✍【详细解析】

Abstract

记 $R_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ ，则 $y_{n} = \frac{R _{n}}{T}$ ． (1) 因为 $a_{0} = 0$ ，所以 $P_{0} = (0, 0)$ ，从而 $f (0) = 0$ ．又因为 $R_{5} = T$ ，所以 $P_{5} = (1, 1)$ ，从而 $f (1) = 1$ ． (2) 由相邻两点的坐标，得 $k_{n} = \frac{y _{n} - y _{n - 1}}{x _{n} - x _{n - 1}} = \frac{a _{n} / T}{\frac{1}{5}} = \frac{5 a _{n}}{T}$ ．由于 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5}$ ，所以 $k_{1} < k_{2} < k_{3} < k_{4} < k_{5}$ ． (3) 对 $n = 1, 2, 3, 4$ ，由于 $a_{0} = 0$ 且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{5}$ ，有 $R_{n} \leq n a_{n}$ ，并且 $a_{n + 1} + \dots + a_{5} > (5 - n) a_{n}$ ．因此 $n T - 5 R_{n} = n (T - R_{n}) - (5 - n) R_{n} > n (5 - n) a_{n} - (5 - n) R_{n} \geq 0$ ．于是 $n T > 5 R_{n}$ ，从而 $f (x_{n}) = \frac{R _{n}}{T} < \frac{n}{5} = x_{n}$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折线函数新定义

核心方法：折线斜率逐段表达，均值不等式证放缩

避坑指南： $k_{n} = \frac{5 a _{n}}{T}$ 递增；前 $n$ 项平均小于后段平均得 $y_{n} < \frac{n}{5}$ ，即 $f (x_{n}) < x_{n}$ ；用”平均数比较”别硬拆不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义函数与不等式证明（综合）

结论推广：递增数据的前 $n$ 项平均数小于全列平均数，逐段折线位于 $y = x$ 下方

方法推广：新定义题先算前两问摸清结构，把抽象定义转成”平均数比较”这类熟悉模型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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