2003-北京文-10 单-电子投票新定义计数

本题导读

本题考查新定义情境下的计数问题，以及计数原理的应用。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 $k$ 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 $1,2,\cdots ,k$.规定：同意按"$1$"，不同意（含弃权）按"$0$"．令 $a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第}i\text{号同学同意第}j\text{号同学当选},\\ 0,& \text{第}i\text{号同学不同意第}j\text{号同学当选}.\end{array}$ 其中 $i=1,2,\cdots ,k$，且 $j=1,2,\cdots ,k$，则同时同意第 $1,2$ 号同学当选的人数为()

A. $a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{1k}+a_{21}+a_{22}+\cdots +a_{2k}$　　B. $a_{11}+a_{21}+\cdots +a_{1k}+a_{12}+a_{22}+\cdots +a_{k2}$

C. $a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}+\cdots +a_{k1}{a}_{k2}$　　　　D. $a_{11}{a}_{21}+a_{12}{a}_{22}+\cdots +a_{1k}{a}_{2k}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 $i$ 号同学同时同意 $1,2$ 号当选 $⟺a_{i1}=1$ 且 $a_{i2}=1$。
2. 乘积 $a_{i1}{a}_{i2}$ 恰为该同学的示性数，逐人求和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第 $i$ 号同学同时同意第 $1,2$ 号同学当选，当且仅当 $a_{i1}=1$ 且 $a_{i2}=1$，即 $a_{i1}{a}_{i2}=1$（否则 $a_{i1}{a}_{i2}=0$）．故同时同意第 $1,2$ 号同学当选的人数等于 ${\sum }_{i=1}^k{a}_{i1}{a}_{i2}=a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}+\cdots +a_{k1}{a}_{k2}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：电子投票新定义计数
2. 核心方法：第 $i$ 号同学同时同意第 $1,2$ 号当选当且仅当 $a_{i1}=1$ 且 $a_{i2}=1$，即 $a_{i1}{a}_{i2}=1$；求和即得人数 $a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}+\cdots +a_{k1}{a}_{k2}$
3. 避坑指南：乘积 $a_{i1}{a}_{i2}$ 恰为”同时同意”的示性函数，逐人求和

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材计数原理与创新情境
2. 结论推广: 一般地，0-1 矩阵中”同时满足”用乘积表示，“或”用加法表示；将文字条件翻译为示性函数的代数式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-20 解-逆序数新定义与放缩
• 2005-北京春文-20 解-折线函数新定义
• 2008-大纲Ⅰ文-12 单-方格计数