2004-湖南文-12 单-点集充要条件

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及点与集合关系的充要条件。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 设集合 $U=\{(x,y)\mid x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，$A=\{(x,y)\mid 2x-y+m>0\}$，$B=\{(x,y)\mid x+y-n⩽0\}$，那么点 $P(2,3)\in A\cap ({\complement }_{U}B)$ 的充要条件是()

A. $m>-1,n<5$　　　B. $m<-1,n<5$　　　C. $m>-1,n>5$　　　D. $m<-1,n>5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $P\in A$：$2\cdot 2-3+m>0$，即 $m>-1$。
2. $P\notin B$：$2+3-n>0$，即 $n<5$。
3. 故 $m>-1$ 且 $n<5$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

点 $P(2,3)\in A\cap {\complement }_{U}B$ 当且仅当 $P\in A$ 且 $P\notin B$.$P\in A$ 要求 $2\cdot 2-3+m>0$，即 $m>-1$；$P\notin B$ 要求 $2+3-n>0$（即不在 $x+y-n⩽0$ 内），即 $n<5$.因此充要条件是 $m>-1$ 且 $n<5$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点集充要条件
2. 核心方法：$P(2,3)\in A$ 即 $2\cdot 2-3+m>0$，$m>-1$；$P\notin B$ 即 $2+3-n>0$，$n<5$；故 $m>-1$ 且 $n<5$
3. 避坑指南：$A\cap ({\complement }_{U}B)$ 要求 $P\in A$ 且 $P\notin B$；$P\notin B$ 即 $x+y-n>0$，代入 $(2,3)$ 得 $n<5$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于集合与充要条件，教材”集合”
2. 结论推广: 一般化：$P\in A\cap {\complement }_{U}B⟺P\in A$ 且 $P\notin B$；分别列 $P\in A$ 与 $P\notin B$ 的不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-07 单-向量充要条件
• 2005-山东卷文-11 单-集合运算与充要条件
• 2005-湖南卷文-06 单-分式不等式与充要条件