2005-湖南卷文-06 单-分式不等式与充要条件

本题导读

本题考查分式不等式与绝对值不等式的求解，以及充分必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 设集合 $A=\left\{x\mid \frac{x-1}{x+1}<0\right\}$，$B=\{x\mid |x-1|<a\}$，则"$a=1$"是"$A\cap B\ne \varnothing$"的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分又不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A$：$-1<x<1$。
2. $a=1$ 时 $B=(0,2)$，$A\cap B=(0,1)\ne \varnothing$，充分。
3. 反之 $A\cap B\ne \varnothing$ 只需 $B$ 与 $(-1,1)$ 有公共点，如 $a=\frac{1}{2}$ 时 $B=\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 亦交——不必要。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{x-1}{x+1}<0$ 得 $-1<x<1$，即 $A=(-1,1)$．当 $a=1$ 时，$B=(0,2)$，$A\cap B=(0,1)\ne \varnothing$，故充分性成立．反之，若 $A\cap B\ne \varnothing$，只需 $(1-a,1+a)$ 与 $(-1,1)$ 有公共点，如 $a=\frac{1}{2}$ 时 $B=\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 与 $A$ 交非空，但 $a\ne 1$，故必要性不成立．即"$a=1$"是"$A\cap B\ne \varnothing$"的充分不必要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式与充要条件

核心方法：$A=(-1,1)$；$a=1$ 时 $B=(0,2)$ 与 $A$ 交非空；反之取 $B\cap A\ne \varnothing$ 如 $a$ 小于零也可——充分不必要

避坑指南：$|x-1|<a$ 当 $a⩽0$ 时为空集；“A∩B≠∅“只要求有公共点，$a=1$ 是充分不必要

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 常用逻辑用语

结论推广：$A=(-1,1)$；$a=1\Rightarrow B=(0,2)$，$A\cap B=(0,1)\ne \varnothing$；反之 $a=\frac{1}{2}$ 亦交——充分不必要

方法推广：充要条件判断：由” $a=1$“能推出结论、结论推不回 "$a=1$"——注意 $a⩽0$ 时 $B$ 为空的反向通道

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-05 单-向量垂直
• 2007-大纲卷II理-06 单-区间并集表示
• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递