2004-湖北文-16 填-集合包含关系

本题导读

本题考查集合的包含关系及其否定，以及命题真假的判定。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 设 $A$、$B$ 为两个集合，下列四个命题： ①$A⊈B⟺$ 对任意 $x\in A$，有 $x\notin B$； ②$A⊈B⟺A\cap B=\varnothing$； ③$A⊈B⟺A⊉B$； ④$A⊈B⟺$ 存在 $x\in A$，使得 $x\notin B$. 其中真命题的序号是 $\underline{}$.（把符合要求的命题序号都填上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①把 $⊈$ 误作 $\forall x$，过强；②$A\cap B=\varnothing$ 也过强（$A=\{1,2\},B=\{2\}$ 反例）。
2. ③如 $A=\{1\},B=\{1,2\}$：$A⊈B$ 假而 $A⊉B$ 真，不等价。
3. ④是 $⊈$ 的准确定义，真。仅 ④。

✅【答案】

Success

④

✍【详细解析】

Abstract

命题①把 $A⊈B$ 错误地表述成”对任意 $x\in A$ 都有 $x\notin B$“，而 $A⊈B$ 的正确含义只是”存在至少一个 $x\in A$ 不属于 $B$“，故①不是真命题。命题②也不正确，例如 $A=\{1,2\}$，$B=\{2\}$ 时，$A⊈B$，但 $A\cap B=\{2\}\ne \varnothing$.命题③不正确，例如 $A=\{1\}$，$B=\{1,2\}$ 时，$A⊈B$ 为假，而 $A⊉B$ 为真，两者不等价。命题④正是集合包含关系否定的定义：$A⊈B$ 当且仅当存在 $x\in A$ 使 $x\notin B$.因此真命题的序号只有④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合包含关系
2. 核心方法：①”对任意 $x\in A$ 有 $x\notin B$“太强（$A⊊B$ 时 $A\setminus B=\varnothing$ 不可能），②$A\cap B=\varnothing$ 也过强，③$A⊈B⟺A⊉B$ 不成立（如 $A=\{1\},B=\{1,2\}$），④正确，真命题仅 ④
3. 避坑指南：$A⊈B$ 的真义是”存在 $x\in A$ 且 $x\notin B$“；① 是 $A\cap B=\varnothing$ 的等价表述，比 $⊈$ 强

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于集合包含关系，教材”集合”
2. 结论推广: 一般化：$A⊈B⟺\exists x\in A,x\notin B$（与 $\forall$、$\cap =\varnothing$ 区分）；辨析 $⊈$ 的准确定义，逐一判断命题真假

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-01 单-集合运算律与论断判定
• 2005-北京卷文-01 单-集合真子集判定
• 2004-天津文-01 单-集合的关系判断