2005-全国卷I文-01 单-集合运算律与论断判定

本题导读

本题考查集合的运算与补集，以及德摩根律的应用。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 设 $I$ 为全集，$S_1$、$S_2$、$S_3$ 是 $I$ 的三个非空子集且 $S_1\cup S_2\cup S_3=I$，则下面论断正确的是()

A. ${\complement }_I{S}_1\cap (S_2\cup S_3)=\varnothing$　　　　　　　　　　　　　　　B. $S_1\subseteq ({\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3)$

C. ${\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3=\varnothing$　　　　　　　　　　　　　　D. $S_1\subseteq ({\complement }_I{S}_2\cup {\complement }_I{S}_3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由德摩根律，${\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3={\complement }_I(S_1\cup S_2\cup S_3)$。
2. 由条件 $S_1\cup S_2\cup S_3=I$，故该交集为 ${\complement }_{I}I=\varnothing$，C 恒成立。
3. A、B、D 各举一个反例即可否定。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由德摩根律，${\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3={\complement }_I(S_1\cup S_2\cup S_3)$． 由 $S_1\cup S_2\cup S_3=I$，得 ${\complement }_I(S_1\cup S_2\cup S_3)={\complement }_{I}I=\varnothing$，故 C 恒成立． 其余论断均可举反例否定：取 $I=\{1,2\}$，$S_1=\{1\}$，$S_2=\{2\}$，$S_3=\{1,2\}$， 则 ${\complement }_I{S}_1=\{2\}$，$S_2\cup S_3=\{1,2\}$，${\complement }_I{S}_1\cap (S_2\cup S_3)=\{2\}\ne \varnothing$，A 不成立； 此时 $S_1=\{1\}$，${\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3=\{1\}\cap \varnothing =\varnothing$，$S_1⊈\varnothing$，B 不成立； 再取 $S_1=S_2=S_3=I$，则 ${\complement }_I{S}_2\cup {\complement }_I{S}_3=\varnothing$，$S_1⊈\varnothing$，D 不成立． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合运算律与论断判定

核心方法：由德摩根律 ${\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3={\complement }_I(S_1\cup S_2\cup S_3)=\varnothing$，其余三个论断各举反例否定

避坑指南：论断型选择题要求对一切情形成立，举出一个反例即可否定；德摩根律”补交=并补”是恒等变形的钥匙，别凭直觉选 A

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于集合的运算律，教材”集合的基本运算”中德摩根律的运用

结论推广：一般化：${\complement }_I(A\cup B\cup C)={\complement }_{I}A\cap {\complement }_{I}B\cap {\complement }_{I}C$；若干集合之并为全集时，其补集之交为空

方法推广：集合论断题先恒等变形（运算律），再对剩余选项构造特殊集合反例排除

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-02 单-集合交补运算
• 2008-新课标Ⅰ文-01 单-集合交集
• 2009-新课标Ⅰ文-01 单-集合交集
• 2006-全国卷I文-02 单-集合交集并集判定