2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及展开式常数项的计算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)}^6$ 展开式中的常数项为()

A. $15$　　　　　　B. $-15$　　　　　　C. $20$　　　　　　D. $-20$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(\sqrt{x}{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k$。
2. 指数 $\frac{6-k}{2}-k=\frac{6-3k}{2}$，令为零得 $k=2$。
3. 常数项 ${\mathrm{C}}_6^2(-1{)}^2=15$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(\sqrt{x}{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_6^k{x}^{\frac{6-3k}{2}}$.令 $\frac{6-3k}{2}=0$ 得 $k=2$，常数项为 $(-1{)}^2{\mathrm{C}}_6^2=15$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开常数项
2. 核心方法：${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)}^6$ 通项 ${\mathrm{C}}_6^k{x}^{\frac{6-k}{2}}(-1{)}^k{x}^{-k}$；指数 $\frac{6-k}{2}-k=0\Rightarrow k=2$，常数项 ${\mathrm{C}}_6^2=15$
3. 避坑指南：指数 $\frac{6-3k}{2}=0$ 得 $k=2$；系数 ${\mathrm{C}}_6^2(-1{)}^2=15$ 为正——别漏 $(-1{)}^k$ 的符号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”二项式定理”指定项
2. 结论推广: 一般化：$(\sqrt{x}-\frac{1}{x}{)}^n$ 通项指数 $\frac{n-k}{2}-k$，令为零定 $k$；含分数指数项先合并 $x$ 指数，令为零解 $k$ 再算系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-13 填-二项式定理的常数项
• 2006-江西文-07 单-二项式常数项
• 2007-天津文-12 填-二项式常数项