2001-上海文-08 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及常数项的判断。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 在代数式 ${\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^5$ 的展开式中，常数项为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k$。
2. 令 $x$ 的指数 $5-3k=0$，看是否有整数 $k$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k=(-1{)}^k{C}_5^k{x}^{5-3k}$，其中 $k=0,1,2,3,4,5$．令指数 $5-3k=0$，得 $k=\frac{5}{3}$ 不是整数，故展开式中不存在常数项，常数项为 $0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：通项 $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k=(-1{)}^k{C}_5^k{x}^{5-3k}$，令 $5-3k=0$ 无整数 $k$，故常数项为 $0$

避坑指南：二项式通项判指数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，通项 $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 令指数为零求常数项

方法推广：通项判指数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项
• 2005-全国卷I文-14 填-二项展开常数项
• 2006-全国卷II文-13 填-二项展开式常数项